quinta-feira, 10 de janeiro de 2008

Infinito - Parte 1 [de ∞]

Infinito… Qual a primeira coisa que nos vem à cabeça quando pensamos em infinito? Talvez um número indefinidamente grande, a quantidade de números naturais ou reais ou complexos ou o que quer que seja. Mas nada disso nos parece muito familiar, não parece muito próximo a nossa realidade cotidiana. Eu poderia te dizer: imagine o número de grãos de areia de todas as praias de todo o planeta. É um número bastante grande, mas não é nada comparado ao infinito. Imagine agora o número de átomos da nossa galáxia. É um numero absurdamente maior e inimaginável, mas mesmo assim não é infinito. Quando se pensa sobre o infinito, nos deparamos com vários paradoxos. Se eu acrescentar um elemento ao infinito, quanto eu tenho? Infinito. Se eu tirar um elemento do infinito, quanto eu tenho? Infinito. Eu posso acrescentar ou tirar milhares, milhões, bilhões e continuará sendo infinito. Muitos matemáticos durante toda a história da humanidade tentaram estudar sobre o infinito e acabaram desistindo, parecia uma coisa que não tinha muita explicação. Galileu afirmou que o infinito é um conceito divino e, por isso, só Deus é capaz de entender. Foi só no final do século XIX que houve avanços no estudo do infinito, com George Cantor. Quando eu pergunto a alguém a sua opinião sobre a relação entre o conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3, 4, ...} e o conjunto dos números inteiros {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}, quem é maior ou se eles são do mesmo tamanho, normalmente recebo a resposta: é claro que o conjunto dos inteiros é maior do que o conjunto dos naturais. A intuição nos leva a crer que existem mais inteiros do que os naturais, aparentemente até o dobro, mas ela está errada: o tamanho do conjunto dos números naturais e inteiros tem o mesmo tamanho. Isso até choca um pouco no início, mas com uma simples prova matemática pode-se mostrar que isso é verdade. Eu posso afirmar que dois conjuntos têm o mesmo tamanho se eu conseguir associar cada elemento de um dos conjuntos com um elemento do outro conjunto, certo? Por exemplo, se eu tiver um conjunto A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}, eu posso fazer a correspondência a –> 1, b –> 2 e c –> 3 e com isso mostrar que os dois conjuntos têm o mesmo tamanho. Isso se chama correspondência biunívoca. Se eu conseguir fazer uma correspondência biunívoca entre os elementos de dois conjuntos quaisquer, eu posso afirmar que esses dois conjuntos têm o mesmo tamanho. Essa é a maneira usada para comparar conjuntos infinitos, já que com conjuntos infinitos nós não temos a opção de contar o número de elementos de um conjunto e do outro para ver se são iguais. Agora vamos fazer uma correspondência biunívoca entre os números naturais e os números inteiros. Vamos listar os números naturais da seguinte maneira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... e vamos listar os números inteiros da seguinte maneira: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, .... Assim iremos fazer a seguinte correspondência: 0 –> 0, 1 –> 1, 2 –> -1, 3 –> 2, 4 –> -2, 5 –> 3, 6 –> -3, e assim por diante. Podemos continuar fazendo essa correspondência indefinidamente, pois a quantidade de números é infinita. Por mais que avancemos, nunca conseguiremos chegar a algum limite que faça os inteiros superar os naturais. São infinitos e têm exatamente o mesmo tamanho. Com um raciocínio análogo, podemos mostrar que os naturais, naturais pares, inteiros, inteiros negativos, racionais e vários outros conjuntos têm exatamente o mesmo tamanho. E aí podemos pensar: todo infinito é igual, qualquer conjunto infinito tem o mesmo tamanho do que qualquer outro conjunto infinito. Verdade? Não. O conjunto dos números reais tem um tamanho infinito que é maior do que o conjunto dos números naturais. Ainda mais chocante: o tamanho do conjunto dos números reais entre 0 e 1 é maior do que o conjunto de todos os inteiros. Mas o que leva dois conjuntos infinitos a não terem o mesmo tamanho? Qual a diferença na natureza deles que faz eles serem tão diferentes? A diferença é a noção de contagem. Se eu pego o conjunto dos números naturais, eu consigo ir contando os elementos. Obviamente eu nunca iria parar de contar, mas o que importa aqui é que eu consigo contar. E se eu escolher dois naturais, quaisquer, eu consigo dizer com exatidão o número [finito] de naturais que existem entre eles. Por exemplo, se eu pegar 2 e 1.989.123, eu posso afirmar que o número de naturais entre esses dois números é 1.989.120. Agora pegue dois reais quaisquer, por exemplo, 0 e 1. Tente listar todos os reais entre esses dois números. Você nunca conseguirá listar todos os elementos. Essa é a diferença na natureza desses dois conjuntos infinitos que faz eles terem tamanhos diferentes. Agora sabe o que Cantor provou que é ainda mais desconcertante? Ele provou que não só existem dois tamanhos diferentes do infinito, como existem infinitos tamanhos diferentes para o infinito. Ou seja, dado qualquer conjunto infinito, conseguimos montar um conjunto que tem um tamanho infinito maior do que ele. E isso nunca tem fim. Isso é uma afirmação um tanto quanto audaciosa e demorou algum tempo até que os matemáticos aceitassem que Cantor estava certo. Tem muitas outras questões interessantes a respeito do infinito, mas fica para uma próxima postagem.

3 comentários:

Lailah disse...

eu prefiro fugir um pouco dessas teorias no meu blog! Mas é bom que vc esteja escrevendo sobre um assunto que realmente lhe interessa! Tens alma de cientista!
Bjos

Pedro disse...

tenho uma fórmula para te ajudar a mostrar que os números naturais são iguais aos inteiros:

f: N -> Z

|(x-1)/2 , se x é ímpar
|(-x)/2 , se x é par


ao fazermos as substiuições encontraremos todos os inteiros.
Gostei do que vc escreveu, parabéns.

Marcus Vinicius disse...

Paty, eu acho que não é a forma de contar que torna um infinito maior que o outro, se pegarmos o seu mesmo exemplo:"Agora pegue dois reais quaisquer, por exemplo, 0 e 1. Tente listar todos os reais entre esses dois números." e mudarmos para ao invés de real ser racional, também continuaremos sem conseguir listar todos os racionais que estão entre 0 e 1 e mesmo assim os racionais e naturais continuam tendo o mesmo tamanho. Por outro lado conseguimos fazer como vc mencionou uma relação biunívoca entre os naturais e racionais entre 0 e 1 e quaisquer outros racionais. o que o colocam dentro do mesmo tamanho de infinitos. Eu não consigo divagar a não ser pela diagonal de cantor uma relação para provar que os reais são maiores que os naturais.